FLEITI.ME / 静电场笔记

依据：09章_静电场-高斯定理.pdf、09章_静电场.pdf、10章_静电场中的导体和电介质.pdf。课件中的例题按概念归类，必要的符号和前置定义以折叠块补充。

电通量

电通量描述电场穿过一个面的程度，取决于电场垂直于面的分量和面积。对于闭合曲面，穿出计正，穿入计负，净通量是两者的代数和。

\Phi_e=\iint_{\mathcal S}\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol S =\iint_{\mathcal S}E\cos\theta\,\mathrm dS

$\Phi_e$ 为电通量， $\mathcal S$ 为所选曲面， $\boldsymbol E$ 为面元处的电场强度矢量， $E=|\boldsymbol E|$ 为其大小。面积矢量 $\mathrm d\boldsymbol S=\hat{\boldsymbol n}\,\mathrm dS$ ，其中 $\mathrm dS$ 为小面元的面积， $\hat{\boldsymbol n}$ 为垂直于该面元的单位法向量， $\theta$ 是电场与法向量的夹角。

开放曲面需要指定法向，闭合曲面统一取外法向。电通量是标量，单位为 $\mathrm{N\cdot m^2/C}$ 。

注记矢量与单位矢量

$\boldsymbol r$ 表示从指定原点指向观察点的位置矢量，同时含有距离和方向信息； $r=|\boldsymbol r|$ 是其长度，即观察点到原点的距离。

\hat{\boldsymbol r}=\frac{\boldsymbol r}{r}\qquad(r>0)

$\hat{\boldsymbol r}$ 的长度为 $1$ ，只表示从原点向外的径向方向，不表示半径。若讨论球体， $R$ 通常表示球体本身的固定半径， $r$ 表示观察点的位置，可以大于或小于 $R$ 。

$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$ 是两个矢量的点积，等于 $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$ ，结果为标量， $\theta$ 为两矢量夹角。

注记面元与积分

$\mathrm d$ 表示微小变化或微小部分。 $\mathrm dS$ 是小面积， $\mathrm dV$ 是小体积， $\mathrm d\boldsymbol l$ 是沿路径前进的微小位移矢量。

积分把各小部分的贡献相加。 $\int$ 沿路径或单个变量积分， $\iint$ 对曲面积分， $\iiint$ 对体积积分。 $\partial V$ 表示体积区域 $V$ 的封闭边界面；本文用 $\iint_{\partial V}$ 表示闭合曲面的面积分，取外法向。

例题匀强电场中的平面

面积为 $S$ 的平面，其法向与匀强电场的夹角为 $\theta$ 。面上 $E$ 和 $\theta$ 不变，因此

匀强电场穿过一个倾斜平面，电场方向与平面法向的夹角为 θ。 — 平面面积为 S，外法向与匀强电场的夹角为 θ。

\Phi_e=E\cos\theta\iint_{\mathcal S}\mathrm dS=ES\cos\theta

当 $\theta=0$ 、 $\pi/2$ 、 $\pi$ 时，通量分别为 $ES$ 、 $0$ 、 $-ES$ 。

在真空中的点电荷 $q$ 周围，取以电荷为球心、半径为 $r$ 的球面。 $q$ 是带正负号的源电荷量， $\varepsilon_0$ 是真空介电常数，约为 $8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ 。由库仑定律，球面上

点电荷位于半径 r 的球形高斯面中心，电场和面积矢量均沿径向向外。 — 以点电荷 q 为球心的高斯面；场强与外法向面积元同向。

\boldsymbol E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\boldsymbol r}, \qquad \mathrm d\boldsymbol S=\hat{\boldsymbol r}\,\mathrm dS

这里 $\boldsymbol r$ 从电荷指向球面上的观察点。代入通量定义：

\Phi_e =\iint_{\partial V}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,\mathrm dS =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot4\pi r^2 =\frac{q}{\varepsilon_0}

球面面积随 $r^2$ 增大，场强随 $1/r^2$ 减小，两者抵消，因此通量与球面半径无关。

高斯定理

真空中任意闭合曲面的电通量，等于其内部电荷的代数和除以 $\varepsilon_0$ ：

\iint_{\partial V}\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol S =\frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}

$Q_{\text{内}}$ 是体积 $V$ 内的净电荷量。对于离散点电荷与连续体电荷，分别有

Q_{\text{内}}=\sum_{i\in V}q_i, \qquad Q_{\text{内}}=\iiint_V\rho\,\mathrm dV

$q_i$ 是内部第 $i$ 个点电荷的电荷量， $\rho$ 是体电荷密度，即单位体积的电荷量。积分中的 $\boldsymbol E$ 由曲面内外全部电荷产生，右端只计曲面内部的电荷。

高斯定理不要求电荷分布对称。用它求场强时，需要利用对称性确定场的方向，并选取场的法向分量恒定或为零的面，才能化简积分。

注记电荷密度

线电荷密度 $\lambda$ 、面电荷密度 $\sigma$ 、体电荷密度 $\rho$ ，分别是单位长度、面积、体积上的电荷量：

\mathrm dq=\lambda\,\mathrm dl, \qquad \mathrm dq=\sigma\,\mathrm dS, \qquad \mathrm dq=\rho\,\mathrm dV

$\mathrm dq$ 为微小电荷量， $\mathrm dl$ 为小线段长度。三种密度均可带正负号，单位分别为 $\mathrm{C/m}$ 、 $\mathrm{C/m^2}$ 、 $\mathrm{C/m^3}$ 。

例题匀强电场中的长方体

让长方体一对面积为 $S_0$ 的面垂直于电场。一个面穿出，一个面穿入，其余四个面与电场平行：

\Phi_e=ES_0-ES_0=0

由高斯定理，内部净电荷为零。曲面上的电场仍可处处不为零。

球对称分布

设真空中的体电荷密度只与到球心的距离有关，记为 $\rho(r)$ ，且无其他电荷破坏球对称性。电场沿径向，同一球面上的径向分量 $E_r(r)$ 相同。

取半径为 $r$ 的同心球面为高斯面，包围电荷为

Q_{\text{内}}(r)=\int_0^r\rho(r')\,4\pi r'^2\,\mathrm dr'

$r'$ 为积分所用的径向距离， $4\pi r'^2\mathrm dr'$ 是半径为 $r'$ 、厚度为 $\mathrm dr'$ 的薄球层体积。高斯定理给出

E_r(r)\,4\pi r^2=\frac{Q_{\text{内}}(r)}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol E(r)=\frac{Q_{\text{内}}(r)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\boldsymbol r}

$E_r$ 是带正负号的分量； $Q_{\text{内}}>0$ 时电场向外， $Q_{\text{内}}<0$ 时向内。

例题均匀带电球体

球半径为 $R$ ，总电荷为 $Q$ ，体密度 $\rho=3Q/(4\pi R^3)$ 。球内高斯面包围的电荷为

Q_{\text{内}}(r)=\rho\frac{4\pi r^3}{3}=Q\frac{r^3}{R^3}

球外高斯面包围全部电荷，因此

\boldsymbol E(r)= \begin{cases} \displaystyle\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\hat{\boldsymbol r},&0<r<R,\\[5pt] \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\boldsymbol r},&r\ge R. \end{cases}

球心场强为零。这是电荷均匀分布在体积内的模型，不是静电平衡的带电金属球。

例题均匀带电球壳

薄球壳半径为 $R$ ，总电荷为 $Q$ 。球内高斯面不包围电荷，球外包围全部电荷：

\boldsymbol E(r)= \begin{cases} 0,&r<R,\\[2pt] \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\boldsymbol r},&r>R. \end{cases}

理想带电面的两侧场强可以不连续，故此式分别描述壳内、壳外。球内场强为零依赖球对称性，不能仅由净通量为零推出。

轴对称分布

无限长均匀带电直线的线密度为 $\lambda$ 。取与直线同轴、半径为 $r$ 、长度为 $L$ 的封闭圆柱面。此处 $r$ 是到直线的垂直距离， $\hat{\boldsymbol r}$ 是垂直于直线、向外的单位方向矢量。

电场垂直于直线，两端面的通量为零，侧面径向场分量 $E_r$ 恒定。于是

E_r\,2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\hat{\boldsymbol r}

例题无限长均匀带电圆柱体

圆柱半径为 $R$ ，体密度为 $\rho$ 。仍取长度为 $L$ 的同轴高斯柱面：

Q_{\text{内}}= \begin{cases} \rho\pi r^2L,&r<R,\\ \rho\pi R^2L,&r>R. \end{cases}

由 $E_r2\pi rL=Q_{\text{内}}/\varepsilon_0$ 得

\boldsymbol E= \begin{cases} \displaystyle\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\hat{\boldsymbol r},&0<r<R,\\[5pt] \displaystyle\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0r}\hat{\boldsymbol r},&r\ge R. \end{cases}

轴线上场强为零。若电荷只均匀分布在无限长圆柱面上，柱内场强为零，柱外等效线密度为 $\lambda=2\pi R\sigma$ ，其中 $\sigma$ 是柱面的面电荷密度。

平面对称分布

无限大均匀带电平面的面密度为 $\sigma$ 。取垂直穿过该平面的短柱形高斯面，两底面积均为 $S$ 。电场垂直于带电平面，侧面通量为零，两底面的外法向场分量相同，记为 $E_n$ ：

2E_nS=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E_n=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}

$\sigma>0$ 时两侧电场均背离带电平面， $\sigma<0$ 时均指向平面，场强大小为 $|\sigma|/(2\varepsilon_0)$ 。

例题两个异号带电平面

两个平行的无限大平面分别带面密度 $+\sigma$ 、 $-\sigma$ ，其中 $\sigma>0$ 。每个平面独自产生的场强大小为 $\sigma/(2\varepsilon_0)$ 。

两面之间电场同向相加，外部反向抵消：

E_{\text{间}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \qquad E_{\text{外}}=0

面间电场由正电面指向负电面。

例题无限大均匀带电平板

平板沿两个方向无限延伸，厚度为 $2a$ ，占据 $-a\le x\le a$ ，体电荷密度为 $\rho$ 。 $x$ 为垂直于平板的坐标， $x=0$ 为中面， $\hat{\boldsymbol x}$ 为坐标正方向的单位矢量。

对于 $0<x<a$ ，取两底面位于 $x$ 和 $-x$ 、底面积为 $S$ 的高斯柱面。包围电荷为 $2\rho xS$ ，两底面的通量相等：

2E_x(x)S=\frac{2\rho xS}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E_x(x)=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}

$E_x$ 为电场的 $x$ 分量。柱面伸出平板后，包围电荷不再随长度增加，结合两侧对称性得

E_x(x)= \begin{cases} -\rho a/\varepsilon_0,&x<-a,\\ \rho x/\varepsilon_0,&|x|\le a,\\ \rho a/\varepsilon_0,&x>a. \end{cases}

电势

电势从能量的角度描述电场，等于试验电荷在某点的电势能与其电荷量之比。两点的电势差决定电荷在两点间移动时电场力做多少功。

U=\frac{W_p}{q_0}, \qquad U_{ab}=U_a-U_b, \qquad A_{ab}=q_0U_{ab}

$U$ 为电势， $W_p$ 为试验电荷在给定外电场中的电势能， $q_0$ 为不显著改变原电场的试验电荷量； $a,b$ 为起点和终点， $U_a,U_b$ 为两点电势， $U_{ab}$ 为从 $a$ 到 $b$ 的电势差， $A_{ab}$ 为电场力将电荷从 $a$ 移到 $b$ 所做的功。电势单位为伏特， $1\ \mathrm V=1\ \mathrm{J/C}$ 。

功与环路定理

试验电荷在电场中受到的力为 $\boldsymbol F=q_0\boldsymbol E$ 。沿微小位移 $\mathrm d\boldsymbol l$ 移动时，电场力做功

\mathrm dA=\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol l =q_0\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l

因此

A_{ab}=q_0\int_a^b\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l

在真空中固定一个源点电荷 $q$ ，让 $q_0$ 从距它 $r_a$ 处移动到 $r_b$ 处。令 $\boldsymbol r$ 从源电荷指向试验电荷， $r=|\boldsymbol r|$ 。由于 $\hat{\boldsymbol r}\cdot\mathrm d\boldsymbol l=\mathrm dr$ ，有

A_{ab} =\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r_a}^{r_b}\frac{\mathrm dr}{r^2} =\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac1{r_a}-\frac1{r_b}\right)

结果只取决于起终点，与路径无关。由场的叠加性，任意静止电荷分布产生的静电场也具有这一性质。沿闭合路径 $\mathcal L$ 绕行一周，回到原位置：

\oint_{\mathcal L}\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l=0

这就是静电场的环路定理。 $\oint$ 表示闭合路径上的线积分，与闭合曲面的面积分不同。

注记保守力

若力做功只取决于起终点，与路径无关，就称为保守力。沿任意闭合路径做功为零，可以引入势能，使保守力做功等于势能的减少。

静电力、重力和理想弹簧的弹力属于保守力。摩擦力通常不是保守力。

电势能与电势差

用 $W_{p,a}$ 、 $W_{p,b}$ 表示电荷在两点的电势能，则

A_{ab}=W_{p,a}-W_{p,b}=-\Delta W_p

$\Delta W_p=W_{p,b}-W_{p,a}$ 是末态减初态的势能变化。除以 $q_0$ ，得到

U_a-U_b=\int_a^b\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l

若选参考点 $O$ 的电势为零，则任意观察点 $P$ 的电势为

U(P)=\int_P^O\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l

对于局域的有限电荷分布，通常取无限远处电势为零。点电荷 $q$ 的电势与试验电荷 $q_0$ 的电势能分别为

U(r)=\int_r^\infty\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r'^2}\,\mathrm dr' =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}, \qquad W_p(r)=\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0r}

$r'$ 为沿径向积分的距离变量。电势由源电荷与零势点决定，不取决于试验电荷的电荷量。

注记零势点

电势可以整体加上同一常量而不改变电势差和电场。电势为零不代表电场为零，电场为零也不代表电势为零。

无限长带电直线和无限大带电平面的电势积分在无限远处不收敛，不能取无限远为零势点，需要选择有限位置作为参考。

例题均匀带电球壳的电势

球壳半径为 $R$ 、总电荷为 $Q$ ，取 $U(\infty)=0$ 。球外电场与点电荷相同：

U(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\qquad(r\ge R)

球内电场为零，积分路径分成球内与球外两段：

U(r)=\int_r^R0\,\mathrm dr' +\int_R^\infty\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r'^2}\,\mathrm dr' =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\qquad(r<R)

球内电势为常量，且与球面电势连续。

电势叠加

电势是标量。在采用相同零势约定时，多个电荷产生的电势直接代数相加。真空中取无限远为零势点：

U(P)=\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0r_i}

$n$ 是源点电荷个数， $q_i$ 是第 $i$ 个源电荷， $r_i$ 是它到观察点 $P$ 的距离。

连续分布可分割成电荷元 $\mathrm dq$ ，记电荷元到观察点的距离为 $s$ ，则

U(P)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{s}

按分布选取 $\mathrm dq=\lambda\mathrm dl$ 、 $\sigma\mathrm dS$ 或 $\rho\mathrm dV$ ；积分遍历源电荷所在区域。

电偶极子

两个相距很近、带电量为 $+q$ 和 $-q$ 的点电荷构成电偶极子，其中 $q>0$ 。定义电偶极矩

\boldsymbol p=q\boldsymbol\ell

$\boldsymbol\ell$ 是从负电荷指向正电荷的位移矢量， $\ell=|\boldsymbol\ell|$ 为间距， $p=|\boldsymbol p|=q\ell$ 。电偶极矩单位为 $\mathrm{C\cdot m}$ 。

以两电荷中点为原点， $\boldsymbol r$ 指向观察点， $r=|\boldsymbol r|$ ； $\theta$ 为 $\boldsymbol p$ 与 $\boldsymbol r$ 的夹角。观察点到正、负电荷的距离分别为 $r_+$ 、 $r_-$ ，由叠加原理

U=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_+}-\frac1{r_-}\right)

当 $r\gg\ell$ 时，保留关于 $\ell/r$ 的最低阶非零项：

r_\pm\approx r\mp\frac\ell2\cos\theta, \qquad U\approx\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2} =\frac{\boldsymbol p\cdot\hat{\boldsymbol r}}{4\pi\varepsilon_0r^2}

例题电偶极子的场强

将电偶极矩取为 $\boldsymbol p=p\hat{\boldsymbol x}$ ，观察点位于 $xy$ 平面， $r=\sqrt{x^2+y^2}\gg\ell$ 。远场电势为

U(x,y)\approx\frac{px}{4\pi\varepsilon_0(x^2+y^2)^{3/2}}

分别求偏导：

E_x\approx\frac{p(2x^2-y^2)}{4\pi\varepsilon_0(x^2+y^2)^{5/2}}, \qquad E_y\approx\frac{3pxy}{4\pi\varepsilon_0(x^2+y^2)^{5/2}}

$E_y$ 为电场沿 $y$ 轴的分量。在中垂线上， $x=0$ ，电势虽为零，电场仍可非零。

等势面与电势梯度

等势面由电势相等的点构成。沿等势面移动时，电势差为零，电场力做功为零。

由电势差的积分关系，在相邻两点之间有

\mathrm dU=-\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l

$\mathrm dU$ 是沿位移方向的电势变化。在直角坐标系中， $x,y,z$ 为位置坐标， $\hat{\boldsymbol x},\hat{\boldsymbol y},\hat{\boldsymbol z}$ 为沿坐标正方向的单位矢量：

\boldsymbol E=-\nabla U =-\frac{\partial U}{\partial x}\hat{\boldsymbol x} -\frac{\partial U}{\partial y}\hat{\boldsymbol y} -\frac{\partial U}{\partial z}\hat{\boldsymbol z}

注记梯度与偏导数

$\partial U/\partial x$ 表示保持 $y,z$ 不变时，电势沿 $x$ 方向的变化率。梯度 $\nabla U$ 把三个方向的变化率组成一个矢量，指向电势增长最快的方向。

如果电势只依赖一个直角坐标 $x$ ，则 $E_x=-\mathrm dU/\mathrm dx$ ，其中 $E_x$ 为电场的 $x$ 分量；如果电势只依赖到球心的距离 $r$ ，则 $\boldsymbol E=-(\mathrm dU/\mathrm dr)\hat{\boldsymbol r}$ 。

电场指向电势下降最快的方向，并在场强非零处垂直于等势面。若相邻等势面的电势差相同，间距越小，场强越大。

例题无限长带电直线的电势

线密度为 $\lambda$ ，选距直线 $r_0>0$ 处为零势点。观察点距直线为 $r$ ，由已知径向场积分：

无限长带电直线的截面有两条同心圆，内圈半径 r，外圈半径 r0；电场沿径向。 — 垂直于无限长直线的截面：在 r₀ 处选零势点，比较半径 r 处的电势。

U(r)=\int_r^{r_0}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r'}\,\mathrm dr' =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_0}{r}

对数中的 $r_0/r$ 无量纲。反向求导可还原场强：

E_r=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dr}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}

例题无限大带电平面的电势

带电平面位于 $x=0$ ，面密度为 $\sigma$ ，取平面电势为零。 $x$ 是到平面的带正负号的法向坐标，距离为 $|x|$ ：

正电平面位于 x 等于零处，电场向左右两侧，电势图像在原点达到零并向两边下降。 — σ>0 时电场从平面向两侧发散；以平面为零势点，电势随 |x| 线性下降。

U(x)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}|x|

分别在 $x>0$ 和 $x<0$ 求 $E_x=-\mathrm dU/\mathrm dx$ ，得到两侧相反方向的电场。

带孔圆盘

均匀带电圆盘的内孔半径为 $R_1$ ，外半径为 $R_2$ ，面密度为 $\sigma$ 。取盘心为原点， $x$ 轴垂直盘面，观察点位于轴上坐标 $x$ 处，取无限远电势为零。

环形圆盘的轴向剖面标出内半径 R1、外半径 R2、半径 s 的薄环，以及轴上观察点 P。 — 带孔圆盘的轴向剖面：半径 s、宽度 ds 的细圆环到观察点 P 的距离相同。

将圆盘分成半径为 $s$ 、宽度为 $\mathrm ds$ 的圆环。环上各电荷元到观察点的距离都为 $\sqrt{s^2+x^2}$ ，整环电荷量为

\mathrm dq=2\pi s\sigma\,\mathrm ds

因此

U(x)=\int_{R_1}^{R_2}\frac{2\pi s\sigma\,\mathrm ds}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{s^2+x^2}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(\sqrt{R_2^2+x^2}-\sqrt{R_1^2+x^2}\right)

由轴对称性，轴上电场只有 $x$ 分量：

\boldsymbol E(x)=E_x\hat{\boldsymbol x}, \qquad E_x=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx} =\frac{\sigma x}{2\varepsilon_0} \left(\frac1{\sqrt{R_1^2+x^2}}-\frac1{\sqrt{R_2^2+x^2}}\right)

先叠加标量电势，再求导，可避免逐个处理各电荷元场强的方向。

导体

金属导体内存在可以移动的自由电荷。在外电场作用下，电荷重新分布；当导体内不再有电荷的宏观定向运动时，导体处于静电平衡。

\boldsymbol E_{\text{导体内}}=0

这里“导体内”指金属材料内部，不包括可能存在的空腔。 $\boldsymbol E$ 是外部电荷和导体上重新分布的电荷共同产生的总场。

注记静电感应

外电场使导体中的自由电荷重新分布，形成感应电荷。孤立且原本中性的导体总电荷仍为零，但不同位置可以出现正、负净电荷。

静电平衡

若金属内部仍有电场，自由电荷就会继续移动，因此平衡时内部场强必须为零。对同一连通导体内任意两点 $a,b$ ，由电势差公式

U_a-U_b=\int_a^b\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l=0

所以导体是等势体，表面是等势面。表面外侧电场的切向分量为零，非零电场只能沿表面法线方向。

在金属内部任取一个很小的闭合高斯面，其通量为零，因此包围的净电荷为零。由此可知金属体内没有宏观净体电荷，过剩电荷分布在导体表面，包括可能存在的空腔内表面。

在导体表面取一个跨越内外的短柱形高斯面，两底面积为 $\Delta S$ 。令 $\sigma$ 为局部表面电荷密度， $\hat{\boldsymbol n}$ 从金属指向外部真空， $E_n$ 为外侧场强沿该法向的分量。柱高趋近于零时，侧面通量消失，内部底面场强为零：

E_n\Delta S=\frac{\sigma\Delta S}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol E_{\text{外侧}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat{\boldsymbol n}

这是导体表面邻近真空一侧的总场。无限大非导体薄电荷面两侧对称分配通量，单侧场强大小为 $|\sigma|/(2\varepsilon_0)$ ，两种情形的边界条件不同。

例题导线连接的两个金属球

两个相距很远的金属球半径分别为 $R$ 、 $r$ ，电荷分别为 $Q$ 、 $q$ ，用细导线连接。忽略导线带电及两球之间的相互影响，平衡时电势相等：

\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r} \quad\Longrightarrow\quad \frac Qq=\frac Rr

两球的面密度分别为 $\sigma_R=Q/(4\pi R^2)$ 、 $\sigma_r=q/(4\pi r^2)$ ，因此

\frac{\sigma_R}{\sigma_r}=\frac rR

小球总电荷较少，但面电荷密度较大。导体尖端通常电荷较密集、附近电场较强；一般导体的具体分布仍由整体形状和周围电荷共同决定。

平行金属板

两块面积均为 $S$ 的大金属薄板 $A,B$ 平行放置，间距远小于板的横向尺寸。 $A$ 带总电荷 $Q$ ， $B$ 不带净电荷，忽略边缘效应。

从左到右将四个表面的面密度记为 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4$ ，其中 $1,2$ 属于 $A$ ， $3,4$ 属于 $B$ 。电荷守恒给出

\sigma_1+\sigma_2=\frac QS, \qquad \sigma_3+\sigma_4=0

取向右为 $x$ 轴正方向。把每个表面视为无限大带电平面，在两块金属内部叠加场强，并令结果为零：

\frac{\sigma_1-\sigma_2-\sigma_3-\sigma_4}{2\varepsilon_0}=0, \qquad \frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3-\sigma_4}{2\varepsilon_0}=0

联立得到

\sigma_1=\sigma_2=\sigma_4=\frac{Q}{2S}, \qquad \sigma_3=-\frac{Q}{2S}

用 $E_{x,\text{左}}$ 、 $E_{x,\text{间}}$ 、 $E_{x,\text{右}}$ 分别表示两板外侧左方、板间及外侧右方电场的 $x$ 分量：

E_{x,\text{左}}=-\frac{Q}{2\varepsilon_0S}, \qquad E_{x,\text{间}}=\frac{Q}{2\varepsilon_0S}, \qquad E_{x,\text{右}}=\frac{Q}{2\varepsilon_0S}

空腔与屏蔽

设封闭导体带总电荷 $Q$ ，空腔中有一个与导体不接触的电荷 $q$ 。在金属内部取一个包围空腔的高斯面。由于金属内场强为零，若空腔内壁的总电荷为 $Q_{\text{内壁}}$ ，则

q+Q_{\text{内壁}}=0 \quad\Longrightarrow\quad Q_{\text{内壁}}=-q

再由导体电荷守恒，外表面总电荷为

Q_{\text{外表面}}=Q-Q_{\text{内壁}}=Q+q

这只确定内外表面的总电荷，不一定确定每处的面电荷密度。腔内电荷偏离中心时，内壁电荷通常不均匀。

若空腔中没有电荷，整个空腔边界又属于同一等势导体，则腔内电场为零，内壁无感应净面电荷。外部静电场不能穿透封闭导体影响腔内电场，这就是对外场的静电屏蔽。

注记接地

接地使导体与大地交换电荷，通常以大地电势为零，接地导体的电势随之固定为零。接地固定的是电势，不是总电荷量，也不表示整个空间的电场为零。

若导体接地，腔内电荷仍在内壁感应出 $-q$ ，但外表面电荷可以通过地线调整。在没有外部场源时，外表面电荷为零，导体外部电场为零；存在外部场源时，外表面电荷由外部条件决定。固定这些外部条件后，改变腔内电荷不会改变外部电场。

未接地的孤立导体则须满足总电荷守恒，腔内电荷可通过改变外表面总电荷影响外部电场。以上均针对静电条件下的封闭导体。

同心导体球与球壳

内导体球半径为 $a$ 、电荷为 $q$ ；外导体球壳内外半径分别为 $b,c$ ，满足 $a<b<c$ ，球壳总电荷为 $Q$ 。周围为真空，无其他电荷，取无限远电势为零。

由球对称性与静电平衡，内球表面、球壳内壁和外表面分别均匀带电 $q,-q,Q+q$ 。利用球壳电势公式，内球电势 $U_A$ 与外壳电势 $U_B$ 为

U_A=\frac1{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac qa-\frac qb+\frac{Q+q}{c}\right), \qquad U_B=\frac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0c}

因此两者电势差为

U_A-U_B=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right)

外表面产生的电势在两处相同，在电势差中抵消。若外壳接地，其外表面电荷变为零， $U_B=0$ ，而在内球电荷 $q$ 不变时，两者电势差不变。

电容

电容描述导体储存电荷时，电荷量与电势或电势差之间的比例。对于结构和线性介质固定的电容器，电容由几何形状、尺寸和介质决定。

C=\frac{Q}{U_A-U_B}=\frac QU

$C$ 为电容，导体 $A,B$ 分别带电 $+Q,-Q$ ，此处 $Q>0$ ； $U_A,U_B$ 为两导体电势， $U=U_A-U_B>0$ 为电容器电压。电容单位为法拉：

1\ \mathrm F=1\ \mathrm{C/V}=10^6\ \mu\mathrm F=10^{12}\ \mathrm{pF}

取两块面积为 $S$ 、间距为 $d$ 的平行导体板，板间为真空，分别带电 $+Q,-Q$ 。当 $d$ 远小于板的横向尺寸时，忽略边缘效应，电荷近似分布在相对的两面上，面密度大小为 $\sigma=Q/S$ 。

由两个异号带电平面的叠加，板间场强大小为

E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0S}

由电势差公式，从正极板沿电场方向积分到负极板：

U=\int_A^B\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l =Ed=\frac{Qd}{\varepsilon_0S}

代入电容定义：

C=\frac QU=\frac{\varepsilon_0S}{d}

$Q$ 在比值中消去。增加电荷量会按相同比例增加电压，电容本身不因此改变。

注记边缘效应

有限极板的边缘附近，电场会向外弯曲，板外电场也不严格为零。极板间距远小于横向尺寸时，大部分板间区域可近似视为匀强电场。

孤立导体

孤立导体以无限远为零势点，电容定义为

C=\frac QU

这里 $Q$ 为孤立导体的总电荷， $U$ 为其相对无限远的电势，与双导体电容器中两导体的电势差有所区别。

例题孤立金属球

真空中孤立金属球半径为 $R$ ，电荷为 $Q$ 。其电势为

U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}

因此

C=4\pi\varepsilon_0R

圆柱形电容器

两同轴导体的相对柱面半径为 $a,b$ ，其中 $a<b$ ，有效长度为 $L$ ；长度足够大，可忽略端部影响。内外导体分别带电 $+Q,-Q$ ，板间为真空。定义内导体线电荷密度 $\lambda=Q/L$ 。

在 $a<r<b$ 处， $r$ 为到轴线的距离，场强沿径向，大小为

E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}

内外导体电势差为

U=\int_a^bE(r)\,\mathrm dr =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac ba

因此

C=\frac{\lambda L}{U}=\frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}

球形电容器

内导体球半径为 $a$ ，外球壳内半径为 $b$ ，两者同心、板间为真空，分别带电 $+Q,-Q$ 。由同心导体的电势差

U=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right)

得到

C=4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}

当 $b\to\infty$ 时， $C\to4\pi\varepsilon_0a$ ，退化为孤立金属球的电容。

串联与并联

设有 $n$ 个电容器，第 $i$ 个电容为 $C_i$ ，电压为 $U_i$ ，正极板电荷量为 $Q_i$ ，等效电容为 $C_{\text{eq}}$ 。

串联且各中间连接导体最初不带净电荷时，各电容器的电荷量大小相等，记为 $Q$ ；总电压 $U$ 为各电压之和：

U=\sum_{i=1}^nU_i =\sum_{i=1}^n\frac Q{C_i} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{C_{\text{eq}}}=\sum_{i=1}^n\frac1{C_i}

串联电容器按电容的倒数分配电压， $U_i/U_j=C_j/C_i$ ，其中 $i,j$ 表示任意两个电容器。

并联时，各电容器电压相等，均为 $U$ ；总电荷量 $Q$ 为各支路电荷量之和：

Q=\sum_{i=1}^nQ_i=\sum_{i=1}^nC_iU \quad\Longrightarrow\quad C_{\text{eq}}=\sum_{i=1}^nC_i

例题两个电容器

两个电容分别为 $C_1,C_2$ ，则

C_{\text{串}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}, \qquad C_{\text{并}}=C_1+C_2

若二者均为 $C$ ，串联结果为 $C/2$ ，并联结果为 $2C$ 。

注记耐压

耐压是电容器允许承受的最大工作电压。并联时每个电容器承受相同电压，总体受最低耐压限制；串联时需要按分压结果逐个检查，不能无条件把额定耐压相加。

电介质

电介质是缺少可自由长距离移动电荷的绝缘材料。外电场使其内部正负电荷发生相对位移或使分子电偶极矩转向，形成极化。极化电荷也产生电场，因此介质中的总场必须同时考虑自由电荷与极化电荷。

\boldsymbol E=\boldsymbol E_0+\boldsymbol E_b

$\boldsymbol E$ 为介质中的总场， $\boldsymbol E_0$ 为实际自由电荷分布产生的场， $\boldsymbol E_b$ 为束缚电荷产生的场；下标 $b$ 表示束缚电荷。一般情况下这三个场都是矢量，不能预先把它们当成同方向的数相加。

极化

单位体积内分子电偶极矩的矢量和称为极化强度：

\boldsymbol P=\frac1{\Delta V}\sum_{i\in\Delta V}\boldsymbol p_i

$\boldsymbol P$ 是极化强度矢量，单位为 $\mathrm{C/m^2}$ ； $\Delta V$ 是包含许多分子、但在宏观上足够小的体积； $\boldsymbol p_i$ 为其中第 $i$ 个分子的电偶极矩，方向从负电荷中心指向正电荷中心。

对线性、各向同性电介质，有

\boldsymbol P=\varepsilon_0\chi_e\boldsymbol E

$\chi_e$ 是无量纲的电极化率， $\boldsymbol E$ 是介质内部的宏观总场。定义相对介电常数 $\varepsilon_r$ 和介电常数 $\varepsilon$ ：

\varepsilon_r=1+\chi_e, \qquad \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r

$\varepsilon_r$ 无量纲，真空中为 $1$ ； $\varepsilon$ 单位为 $\mathrm{F/m}$ 。

注记位移极化与取向极化

无极分子在没有外场时，正负电荷中心重合，电偶极矩为零；加外场后两中心发生相对位移，产生电偶极矩，称为位移极化。

有极分子本身具有电偶极矩，无外场时许多分子的取向通常相互抵消；加外场后，取向统计上偏向电场方向，称为取向极化。

注记线性、各向同性与均匀

线性指 $\boldsymbol P$ 与 $\boldsymbol E$ 成正比；各向同性指材料各方向的响应相同，可用一个标量 $\chi_e$ 描述；均匀指材料参数不随位置变化。

下文采用线性、各向同性的介质模型。分层介质允许不同层具有不同参数。

束缚电荷

极化时，正负电荷的相对位移可以在介质表面留下未被相邻分子抵消的电荷，称为束缚电荷。束缚面电荷密度满足

\sigma_b=\boldsymbol P\cdot\hat{\boldsymbol n}=P\cos\theta

$\sigma_b$ 为束缚面电荷密度， $P=|\boldsymbol P|$ ， $\hat{\boldsymbol n}$ 是从介质内部指向介质外部的单位法向量， $\theta$ 是它与 $\boldsymbol P$ 的夹角。介质外部可以是真空，也可以是与介质接触的金属。

注记体束缚电荷

若极化强度在空间中变化，还可能出现体束缚电荷：

\rho_b=-\nabla\cdot\boldsymbol P

$\rho_b$ 为束缚电荷的体密度。 $\nabla\cdot\boldsymbol P$ 称为散度，表示极化强度从单位微小体积向外净流出的程度；在直角坐标中，它等于 $\partial P_x/\partial x+\partial P_y/\partial y+\partial P_z/\partial z$ ，其中 $P_x,P_y,P_z$ 为三个方向的分量。

均匀极化时 $\boldsymbol P$ 处处相同，体内 $\rho_b=0$ ；仅“材料均匀”不保证极化强度也均匀。

将一块均匀介质完全填入平行板电容器，忽略边缘效应。极板自由电荷面密度为 $+\sigma_f,-\sigma_f$ ，其中 $\sigma_f>0$ ，下标 $f$ 表示自由电荷。

取从正极板到负极板为正方向。介质极化强度沿该方向，靠近正极板的介质表面带 $-P$ ，靠近负极板的表面带 $+P$ 。它们产生的场与自由电荷的场反向，因此总场大小满足

E=\frac{\sigma_f}{\varepsilon_0}-\frac P{\varepsilon_0}

代入 $P=\varepsilon_0\chi_eE$ ：

E(1+\chi_e)=\frac{\sigma_f}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E=\frac{\sigma_f}{\varepsilon_0\varepsilon_r} =\frac{\sigma_f}{\varepsilon}

此时束缚面电荷密度的大小为

|\sigma_b|=P=\left(1-\frac1{\varepsilon_r}\right)\sigma_f

设极板面积为 $S$ 、间距为 $d$ 、正极板电荷为 $Q=\sigma_fS$ ，则

U=Ed=\frac{Qd}{\varepsilon S}, \qquad C=\frac QU=\frac{\varepsilon S}{d}

$U$ 为极板间电压， $C$ 为填入介质后的电容。

例题断电与接电

用下标 $0$ 表示填入介质前的真空状态。介质完全填充后， $C=\varepsilon_rC_0$ 。

断开电源、极板电荷保持为 $Q_0$ 时：

Q=Q_0,\qquad U=\frac{U_0}{\varepsilon_r},\qquad E=\frac{E_0}{\varepsilon_r}

保持连接恒压电源、板间距不变时：

U=U_0,\qquad E=\frac{U_0}{d}=E_0,\qquad Q=\varepsilon_rQ_0

后一种情况下，电源补充自由电荷，板间总场并不减小。此处 $E_0$ 指插入前的场强；自由电荷改变后，它不再等于新自由电荷分布单独产生的场。

电位移

引入电位移矢量，把极化强度并入场量：

\boldsymbol D=\varepsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P

$\boldsymbol D$ 为电位移矢量，单位为 $\mathrm{C/m^2}$ 。对线性、各向同性介质：

\boldsymbol D=\varepsilon_0(1+\chi_e)\boldsymbol E =\varepsilon\boldsymbol E

在有介质时，电场的高斯定理仍须计入全部电荷：

\varepsilon_0\iint_{\partial V}\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol S =Q_{f,\text{内}}+Q_{b,\text{内}}

$Q_{f,\text{内}}$ 、 $Q_{b,\text{内}}$ 分别为闭合面内部自由电荷与束缚电荷的总量。由极化强度与束缚电荷的关系

Q_{b,\text{内}}=-\iint_{\partial V}\boldsymbol P\cdot\mathrm d\boldsymbol S

将这一项移到左边，得到介质中的高斯定理：

\iint_{\partial V}\boldsymbol D\cdot\mathrm d\boldsymbol S =Q_{f,\text{内}}

电位移的闭合面通量只计内部自由电荷，但某一点的 $\boldsymbol D$ 仍受介质和边界条件影响。不能由此断言 $\boldsymbol D$ 在任意问题中都只由自由电荷决定。

利用对称性求出 $\boldsymbol D$ 后，再由 $\boldsymbol E=\boldsymbol D/\varepsilon$ 求场强。静电场的环路定理仍然是 $\oint\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol l=0$ ，积分对象是 $\boldsymbol E$ 。

介质中的金属球

半径为 $R$ 的金属球带自由电荷 $q$ ，周围充满均匀、无限大的线性各向同性介质，介电常数为 $\varepsilon$ ，无其他电荷。令 $r$ 为到球心的距离， $\hat{\boldsymbol r}$ 为由球心向外的单位矢量。

在 $r>R$ 处，由球对称性，电位移的径向分量 $D_r$ 在同心球面上恒定：

D_r4\pi r^2=q \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol D=\frac{q}{4\pi r^2}\hat{\boldsymbol r}

因此

\boldsymbol E=\frac{q}{4\pi\varepsilon r^2}\hat{\boldsymbol r}, \qquad \boldsymbol P=\boldsymbol D-\varepsilon_0\boldsymbol E =\left(1-\frac1{\varepsilon_r}\right)\frac{q}{4\pi r^2}\hat{\boldsymbol r}

紧贴金属球的介质内表面，其“介质外法向”指向金属，故 $\hat{\boldsymbol n}=-\hat{\boldsymbol r}$ 。由此

\sigma_b=-\left(1-\frac1{\varepsilon_r}\right)\frac{q}{4\pi R^2}

若 $q>0$ 且 $\varepsilon_r>1$ ，金属外的介质表面带负束缚电荷。

分层介质

平行板电容器面积为 $S$ ，板间沿电场方向依次填满两层介质，厚度为 $d_1,d_2$ ，介电常数为 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 。两层的界面平行于极板，界面上无自由电荷。正极板自由电荷为 $Q$ ，面密度为 $\sigma_f=Q/S$ ，忽略边缘效应。

在介质界面两侧取面积为 $\Delta S$ 的薄柱高斯面，电位移通量满足

D_2\Delta S-D_1\Delta S=0 \quad\Longrightarrow\quad D_1=D_2

$D_1,D_2$ 为两层内沿正极板到负极板方向的电位移大小。再对金属与介质交界处用高斯定理：

D_1=D_2=\sigma_f, \qquad E_1=\frac{\sigma_f}{\varepsilon_1}, \qquad E_2=\frac{\sigma_f}{\varepsilon_2}

$E_1,E_2$ 为两层场强大小。板间电压等于各层电势降之和：

U=E_1d_1+E_2d_2 =\frac QS\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\right)

所以

C=\frac{S}{d_1/\varepsilon_1+d_2/\varepsilon_2}

它等效于电容为 $C_1=\varepsilon_1S/d_1$ 、 $C_2=\varepsilon_2S/d_2$ 的两个电容器串联。

例题并排介质

若两种介质沿极板面积方向并排放置，各自贯穿整个板间距 $d$ ，占据面积分别为 $S_1,S_2$ ，介电常数为 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ ，忽略边缘效应，则两部分电压相同，等效并联：

C=\frac{\varepsilon_1S_1}{d}+\frac{\varepsilon_2S_2}{d}

均匀极化球

半径为 $R$ 的介质球具有均匀极化强度 $\boldsymbol P=P\hat{\boldsymbol z}$ ， $\hat{\boldsymbol z}$ 为 $z$ 轴正方向单位矢量。用 $\theta$ 表示球面外法向与 $z$ 轴的夹角，则

\sigma_b(\theta)=P\cos\theta

在 $\theta$ 到 $\theta+\mathrm d\theta$ 之间取球面环带，其面积为 $2\pi R^2\sin\theta\,\mathrm d\theta$ ，所带束缚电荷为

\mathrm dq_b=2\pi PR^2\sin\theta\cos\theta\,\mathrm d\theta

环带各部分在球心的横向场相互抵消，沿 $z$ 轴的分量为

\mathrm dE_{b,z} =-\frac{\mathrm dq_b}{4\pi\varepsilon_0R^2}\cos\theta =-\frac{P}{2\varepsilon_0}\sin\theta\cos^2\theta\,\mathrm d\theta

$E_{b,z}$ 为束缚电荷场的 $z$ 分量。积分得到球心处

E_{b,z}=-\frac{P}{2\varepsilon_0}\int_0^\pi\sin\theta\cos^2\theta\,\mathrm d\theta =-\frac{P}{3\varepsilon_0}

即 $\boldsymbol E_b=-\boldsymbol P/(3\varepsilon_0)$ 。若该球为均匀线性各向同性介质，置于真空中的均匀外场 $\boldsymbol E_0$ ，其内部形成均匀极化，代入 $\boldsymbol P=\varepsilon_0\chi_e\boldsymbol E$ ：

\boldsymbol E=\boldsymbol E_0-\frac{\boldsymbol P}{3\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol E=\frac{3}{\varepsilon_r+2}\boldsymbol E_0

这与固定自由电荷的平行板情形 $E=E_0/\varepsilon_r$ 不同。极化后的场取决于介质形状和边界条件，不能统一套用同一减弱倍数。

静电能

静电能是建立一个电荷分布所需储存的能量。它可以通过组装电荷时外力做的功计算，也可以表示成电场能量密度在空间中的积分。

对于真空中由 $n$ 个点电荷组成的系统，以各电荷彼此相距无限远时的相互作用能为零：

W=\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0r_{ij}} =\frac12\sum_{i=1}^nq_iU_i

$W$ 为系统相互作用能， $q_i,q_j$ 为第 $i,j$ 个电荷的电荷量， $r_{ij}$ 为它们的距离， $i<j$ 表示每对电荷只计一次。 $U_i$ 是其他电荷在第 $i$ 个电荷处产生的电势，不包括它自己的电势。

注记外力做功与电场力做功

若缓慢移动电荷，起终态动能不变，外力做功 $A_{\text{外}}$ 与电场力做功 $A_{\text{电}}$ 满足

A_{\text{外}}=-A_{\text{电}}=\Delta W

$\Delta W$ 为系统静电能的增加量。缓慢移动可使动能变化和辐射影响忽略不计。

相互作用能

先将电荷 $q_1$ 放到指定位置，再把 $q_2$ 从无限远移到距 $q_1$ 为 $r_{12}$ 的位置。第一个电荷在第二个位置产生的电势为 $q_1/(4\pi\varepsilon_0r_{12})$ ，因此所需外功为

W_{12}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_{12}}

$W_{12}$ 为这对电荷的相互作用能。同号电荷对应正值，异号对应负值，符号基于无限远相互作用能为零的约定。

再引入第三个电荷 $q_3$ ，它与前两个电荷的距离分别为 $r_{13},r_{23}$ 。第三个位置已有的电势为两项之和，因而

W=\frac1{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\right)

若改写成 $\sum_iq_iU_i$ ，每一对相互作用都出现两次，所以要乘 $1/2$ 。

对于连续分布的电荷，把求和推广为积分：

W=\frac12\int U\,\mathrm dq

$U$ 为总电荷分布在电荷元 $\mathrm dq$ 所在位置产生的电势，取无限远为零势点。体分布与面分布分别写为

W=\frac12\iiint_V\rho U\,\mathrm dV, \qquad W=\frac12\iint_{\mathcal S}\sigma U\,\mathrm dS

$V$ 、 $\mathcal S$ 分别为电荷所在的体积与表面， $\rho$ 、 $\sigma$ 分别为体密度与面密度。

注记外场中的电势能与系统能量

给定外场中的试验电荷使用 $W_p=q_0U_{\text{外}}$ ，其中 $U_{\text{外}}$ 为外部源电荷的电势；整个电荷系统使用 $W=\tfrac12\sum_iq_iU_i$ ，避免把每一对相互作用计两次。

点电荷系统公式只计算不同电荷间的相互作用，不包含理想点电荷发散的自能。连续电荷公式在积分收敛时还包含带电体各部分之间的相互作用。

电容器储能

给电容为 $C$ 的电容器缓慢充电。设某一中间时刻正极板带电 $q$ ，电压为 $u(q)=q/C$ 。再把正电荷 $\mathrm dq$ 从负极板移到正极板，所需外功为

\mathrm dW=u(q)\,\mathrm dq=\frac qC\,\mathrm dq

$q$ 是充电过程中的变量，最终电荷量为 $Q$ ，最终电压为 $U=Q/C$ 。若 $C$ 在充电中保持不变：

W=\int_0^Q\frac qC\,\mathrm dq =\frac{Q^2}{2C} =\frac12QU =\frac12CU^2

系数 $1/2$ 来自电压从零逐渐增长，不能把最终电压 $U$ 当作整个充电过程中不变的电压。

例题填入介质后的储能

原电容为 $C_0$ ，完全填充相对介电常数为 $\varepsilon_r$ 的介质后， $C=\varepsilon_rC_0$ ，用 $W_0$ 表示插入前的储能。

断电且电荷 $Q$ 不变时：

W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{W_0}{\varepsilon_r}

恒压电源连接、电压 $U$ 不变时：

W=\frac12CU^2=\varepsilon_rW_0

后一种情况下电源参与能量交换。计算受力时，不能只把电场储能的减少当成机械功。

能量密度

对填满均匀线性介质的平行板电容器，板面积为 $S$ 、间距为 $d$ ，场强大小为 $E$ 、介电常数为 $\varepsilon$ 。代入 $C=\varepsilon S/d$ 和 $U=Ed$ ：

W=\frac12\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2 =\frac12\varepsilon E^2Sd

板间体积为 $V=Sd$ ，所以单位体积的储能为

w=\frac WV=\frac12\varepsilon E^2 =\frac12\boldsymbol E\cdot\boldsymbol D

$w$ 为电场能量密度，单位为 $\mathrm{J/m^3}$ ； $\boldsymbol D$ 为电位移矢量。对线性介质中的非均匀静电场，使用局部场量在整个有场空间积分：

W=\iiint_{\text{全空间}}w\,\mathrm dV =\frac12\iiint_{\text{全空间}}\boldsymbol E\cdot\boldsymbol D\,\mathrm dV

真空中 $\boldsymbol D=\varepsilon_0\boldsymbol E$ ，于是 $w=\varepsilon_0E^2/2$ 。这一定义下，电荷所在区域之外也可以储存电场能量。

均匀带电球体

电荷 $Q$ 均匀分布在半径为 $R$ 的球形体积中，全空间按真空介电常数处理。令 $r$ 为到球心的距离，径向场分量为

E_r(r)= \begin{cases} \displaystyle\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3},&r<R,\\[5pt] \displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2},&r>R. \end{cases}

用半径为 $r$ 、厚度为 $\mathrm dr$ 的薄球层积分，体积元为 $\mathrm dV=4\pi r^2\mathrm dr$ 。将储能分为球内的 $W_{\text{内}}$ 与球外的 $W_{\text{外}}$ ：

W_{\text{内}} =\int_0^R\frac{\varepsilon_0}{2} \left(\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}\right)^2 4\pi r^2\,\mathrm dr =\frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0R}

W_{\text{外}} =\int_R^\infty\frac{\varepsilon_0}{2} \left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\right)^2 4\pi r^2\,\mathrm dr =\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}

因此

W=W_{\text{内}}+W_{\text{外}}=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}

例题用电势计算球体储能

取无限远电势为零。球内电势由球内、球外两段积分得到：

U(r)=\int_r^R\frac{Qr'}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,\mathrm dr' +\int_R^\infty\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r'^2}\,\mathrm dr' =\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0R}\left(3-\frac{r^2}{R^2}\right)

体密度 $\rho=3Q/(4\pi R^3)$ ，故

W=\frac12\int_0^R\rho U(r)\,4\pi r^2\,\mathrm dr =\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}

电荷形式只对有电荷的球体积分，能量密度形式对球内和球外都积分，结果相同。

例题带电金属球的储能

半径为 $R$ 的孤立金属球带电 $Q$ ，真空中电容为 $C=4\pi\varepsilon_0R$ ：

W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}

金属内电场为零，能量只分布在球外。因此它与均匀带电球体的储能不同。

介质板受力

平行板电容器的极板为边长 $a$ 的正方形，板间距为 $d$ ，断开电源后两板电荷保持为 $+Q,-Q$ 。把厚度为 $d$ 、相对介电常数为 $\varepsilon_r$ 的介质板从一侧插入，插入长度为 $x$ ，且 $0\le x\le a$ 。取插入方向为 $x$ 轴正方向。

忽略边缘效应，介质区面积为 $ax$ ，真空区面积为 $a(a-x)$ ，两部分等效并联：

C(x)=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r a x}{d} +\frac{\varepsilon_0a(a-x)}d =\frac{\varepsilon_0a}{d}\left[a+(\varepsilon_r-1)x\right]

固定电荷量时，储能为

W(x)=\frac{Q^2}{2C(x)} =\frac{Q^2d}{2\varepsilon_0a\left[a+(\varepsilon_r-1)x\right]}

令 $F_x$ 为电场作用在介质板上的力沿插入方向的分量。电场力做功等于储能减少：

F_x\,\mathrm dx=-\mathrm dW \quad\Longrightarrow\quad F_x=-\frac{\mathrm dW}{\mathrm dx} =\frac{Q^2d(\varepsilon_r-1)}{2\varepsilon_0a\left[a+(\varepsilon_r-1)x\right]^2}

当 $\varepsilon_r>1$ 时， $F_x>0$ ，介质板被吸入。插入一半，即 $x=a/2$ 时：

F_x=\frac{2Q^2d(\varepsilon_r-1)}{\varepsilon_0a^3(\varepsilon_r+1)^2}

注记恒压时的受力

若电容器始终连接恒压电源，电压 $U$ 固定而 $Q=C(x)U$ 随位置变化。电源做功 $\mathrm dA_{\text{源}}=U\,\mathrm dQ=U^2\mathrm dC$ ，场储能增加 $\mathrm dW=\tfrac12U^2\mathrm dC$ ，两者之差为机械功：

F_x\,\mathrm dx=\mathrm dA_{\text{源}}-\mathrm dW =\frac12U^2\,\mathrm dC \quad\Longrightarrow\quad F_x=\frac12U^2\frac{\mathrm dC}{\mathrm dx}

因此，恒压时介质也被吸向电容增大的方向。